4.2 Chaotic Behaviour of EEG Source

비선형 분석 기법은 상태 기계(state machine)를 사용하여 직접 공식화하거나 정확히 모델링 할 수 없는 많은 프로세스에 대한 통찰력을 제공한다. 이를 위해서는 긴 시퀀스의 시계열(time series) 분석이 필요하다. 이러한 혼잡한 데이터의 상태 공간 재구성은 삽입 방법에 기초하여 수행될 수도 있다[54,55]. 원래 시계열 및 그 타임 지연 복사본을 사용(예: x(n) = [x(n), x(n + T ), . . . , x(n + (dE − 1)T )]하여, 적절한 상태 공간을 재구성할 수 있다.

여기서 x(n)는 원래 1차원 데이터이고, T는 시간 지연이고, dE는 대체대수학(Glossary of commutative algebra, embedding dimension)이다. 지연 시간 T는 평균상호정보량(AMI)기능[56]의 첫번째 최소값부터 계산된다. AMI기능의 최소점은 인접 지연 좌표에 불필요한 중복을 최소화하여 제공한다. 대체대수학(Glossary of commutative algebra, embedding dimension)(dE)은 연속적으로 더 높은 차원에서 인접한 궤적 사이의 거리를 비교하는 전범용적인 가장 가까운 이웃점(a global false nearest neighbours, GFNN)분석[57]에서 계산할 수 있다. 거짓 인접들은 차원 di에서 중첩된 궤적이 차원 di+1와 구별될 때 발생한다. i가 증가함에 따라, 거짓 인접들의 총 퍼센트는 감소하고, 이 비율이 0에 근접하는 곳에서 dE가 선택된다. EEG패턴의 통계적 정상(stationarity)은 조사될 수 있으며, 삽입된 상태의 공간에서 점 x(i)와 x(j)의 모든 쌍 사이에서 유클리드 거리 계산법으로 생성되는 반복 플롯(Plots)을 평가함으로써 수립되고, 그 후 그러한 점들은 구체적인 반지름 ρ 보다 적은 Delta ij가 표시된 평면 (i, j)에서 나타난다.

◆평균상호정보(AMI)란?
상호 정보량의 평균값. 즉 2개의 사상(事象) X, Y에서 한 쪽 사상 Y가 나타남을 알았을 때 다른 사상 X에 대하여 얻을 수 있는 평균 정보량을 말함.

여기서 ||.||는 유클리드 거리를 나타낸다. i와 j는 시간 인스턴스이기 때문에, 반복 구성(plot)은 원래 시계열의 시간 상관관계에 대한 자연적이고 미묘한 정보를 전달한다[58]. 비정상 시계열은 반복 플롯의 총 균질성으로 나타난다. 각 시계열에 대한 ρ의 값은 대개 전체 데이터 셋 크기의 작은 크기로 간주된다. 스케일이 크게 변하지 않는 자가 유사성은 저차원 결정론적 혼돈[59]의 특징 중 하나로써, r이 0으로 갈 때, log(r)에 대한 log[C(r, N)]인 상관관계 합의 로그의 선형변화의 결과가 나온다. 그러한 유사한 역학(dynamics)이 존재하는 곳에서, 상관관계 차원 D는 다음과 같이 정의된다.

여기서 r은 고려하고 있는 점의 부피를 나타내며 H(.)는 헤비사이드 스텝(Heaviside step) 기능이다. C(r, N)의 계산은 소음과 비정상성에 취약하다. 또한 데이터 세트의 유한한 길이에 의해서도 좌우된다. log[C(r, N)]와 log(r)사이 관계의 선형성은 log[C(r, N)대 log(r)의 로컬 기울기에서 검사될 수 있다.
일반적으로, Kolmogorov entropy, the correlation dimension, Lyapunov exponents[5]과 같은 기존의 방법은 뇌의 동적 변화를 정량화하여 사용할 수 있다. 유한 시간 Lyapunov exponents는 상태공간에서 인접한 궤적에서 발산의 평균 지수 비율을 정량화하고, 극소의 혼란(=미세한 동요)을 위한 시스템의 민감성의 이산적인 측정을 제공한다. 가장 큰 Lyapunov exponents의 계산에 기초한 방법은 종종 두개(골)의 EEG 신호에서 발생하는 혼돈의 평가에 사용되어 왔다.
p차원 시스템에서 다른 Lyapunov exponents 람다i인 p가 존재한다. 이들은 위상 공간에서 서로 다른 방향의 수렴 또는 발산을 지수 비율로 측정한다. 만약 지수 중 하나가 양수이면, 그 시스템은 혼란스럽다.
따라서 2개의 폐쇄(close) 초기 조건이 그 양의 지수로 정의되는 방향에서 기하급수적으로 이탈한다. 이러한 지수는 시스템의 무질서한 동작을 연구할 때, "람다1>람다2...>람다d" 로 배열되어 있으므로 가장 큰 Lyapunov exponents인 람다1에서 충분한 변화를 파악할 수 있다.
따라서 간질 뇌가 한 상태에서 다른 상태로 이동함에 따라 값의 변화에 주안점을 둔다.
동적 시스템을 위한 가장 큰 Maximum Lyapunov exponents(MLE)(람다1)는 다음과 같이 참조[60]에서 정의할 수 있다.


여기서 d(n)는 시간 n의 상태 공간에서 인접 궤적 사이의 평균 발산이며 d0은 인접한 점들 사이의 초기의 분리이다. 유한 시간 지수(람다*)는 위의 방적식에서 제한된 두 조건 n이 무한대로 갈때와 d0이 0으로 가는 것을 엄격히 지키는 진정한 Lyapunov exponents 람다1과 구별된다. 유한 길이 관측의 경우, 람다*는 Lyapunov exponents의 평균이다.


울프 외 연구진[61]에 의해 시계열로부터 람다1을 추정하기 위한 실용적 절차가 제안됐다.
이 절차에서는 정상(stationary) 데이터에 대한 람다1의 범용적인 추정치를 제공한다. EEG데이터는 비정상[62]이기 때문에, EEG로부터 람다1을 추정하는 알고리즘은 EEG신호의 적절한 가중치(weight)를 부여하고, 자동적으로 식별해야만 한다.
따라서 주로 EEG데이터의 비정상성을 설명하기 위해 검색 절차를 수정하는 참고 문헌[63]에 제안된 울프 알고리즘의 수정을 사용할 수 있다. 이 추산치는 단기 최대 Lyapunov exponent (STLmax)로 불리며, 다른 전극 부위에서의 STLmax 값의 발달에 의해 두뇌 동역학의 변화가 연구될 수 있다.
시간 시퀀스를 위한 Wolf’s algorithm을 사용한 STLmax 의 추정은 이미 제2장에서 설명했다.

  • References


    • [5] Peitgen, H., Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer-Verlag, New York, 2004.
    [54] Takens, F., ‘Detecting strange attractors in turbulence’, in Dynamical Systems and Turbulence, Springer- Verlag, Berlin, 1981, pp. 366–381.
    [55] Sauer, T., Yurke, J. A., and Casdagli, M., ‘Embedology’, J. Statist. Phys., 65(3/4), 1991, 579–616.
    [56] Fraser, A. M., and Swinney, H. L., ‘Independent coordinates for strange attractors from mutual information’, Phys. Rev. A, 33, 1986, 1134–1140.
    [60] Rosenstein, M. T., Collins, J. J., and Deluca, C. J., ‘A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets’, Physica D, 65, 1993, 117–134.
    [61] Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L., and Vastano, J. A., ‘Determining Lyapunov exponents from a time series’, Physica D, 16, 1985, 285–317.
    [62] Kawabata, N., ‘A nonstationary analysis of the electroencephalogram’, IEEE Trans. Biomed. Engng., 20, 1973, 444–452.
    [63] Iasemidis, L. D., Sackellares, J. C., Zaveri, H. P., and Willians, W. J., ‘Phase space topography and the Lyapunov exponent of electrocorticograms in partial seizures’, Brain Topography, 2, 1990, 187–201.

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